刷百题不如精做一题。今天小编为大家带来的是一道来自于2015年 Nov Mathematics HL section B的一道经典大题，分值为17分，难度系数为★★★☆☆，这一大题比较长，接下来将会分两期完成讲解！

这一大题的题根比较容易抓，浅显易懂，我们先来看看part a！

Part A 题目要求解Complex Equation z³=8i，并把解z写成polar form (极形式, z=rcisθ)以及Cartesian form (笛卡尔形式, a+bi)

题目精析

让我们先来回顾一下"代数基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)”

n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根

通俗地来讲，若方程是关于z的3次方，则它有3个解；若方程是关于z的5次方，则它有5个解；而若方程式关于z的n次方，则他有n个解。

回到题目，z³=8i，显然此方程式关于z的三次方，首先就可以推论出他有且只有三个解。

解Complex Equation的第一步永远是改写成cis form，即把8i变成cis form.

这里给大家安利一张三角函数特殊值表，作为高中生，这是一定要会背的哈。。。

改写之后就是怎么去解这个方程了，我们先把两边开1/3次方，得

需要记住的是，sin与cos函数的周期都是2π，为了获得多个解，括号里必须加上2kπ(k∈Z)，然后得到

在这里需要使用De Moivre's Theorem，即把幂拉下来，乘进括号里面

再对其进行通分，以及化简得出：

前文提及这个方程有3个解，即k=0，1，2三种情况下z的解。若方程有5个解，即是k=0，1，2，3，4，五种情况下的解，通俗地讲，若方程有n个解，即是k=0，1，2...n-1下n种情况的解。

最后一步，按照题目要求变成a+bi形式，即

搞定~

考点总结

1. 这一题考察了代数基本定理的熟悉度，同学们一定要记住n次方的方程在complex field里面是有n个解的。

2. 先对括号里的部分加上2kπ，再对其进行De Moivre’s Theorem的使用。

3. 对Polar form以及Cartesian form的熟悉掌握与转换。

总结

这一道题分值为6分，难度其实并不高，算是比较简单的题目了，同学们平时得多练习解这样的Complex Equations因为这类题目是每年都会考的，基本功一定要扎实。IB的题目套路不如高考题深，所以对基本功的要求十分高~