从AP到奥林匹克竞赛——官方命名“Pitfall陷阱”的题能有多不小心就会错？

引言

2019年美国物理奥林匹克竞赛USAPhO的压轴题B卷第3题，名字叫Pitfall（陷阱）。而且第一小问的官方解答里第一句话就是“Since this problem is subtle, we will present multiple solutions.”那么这道题到底subtle微妙在哪里？Pitfall陷阱又在哪里？让我们一探究竟吧～

陷阱题分析

一根轻杆的两端分别连着一个珠子和一个小球。珠子被固定在水平轨道上可以无摩擦滑动。小球一开始在珠子正上方，被水平向右轻推一下，开始带着轻杆顺时针转动。Infinitesimal push的意思是可以忽略小球的初速度。轻杆可以经过左下图的水平位置（假设可以穿过轨道）和右下图的竖直位置（小球在珠子的正下方）。

第一小问推导水平位置时轻杆中的力，并指出杆是被拉伸还是被压缩。言外之意是问杆给小球和珠子的力，是向里的拉力，还是向外的推力。

AP考题思路类比一上来没有思路的同学，不妨先来看一道AP物理C力学中的经典题目，有相似的情景，考查的是质心运动：

由于轻杆只受竖直方向的重力和支持力，所以在水平方向上的合外力为0，质心水平动量守恒，水平速度保持不变为0，所以质心在水平方向上没有位移，当杆落到地面上时，质心在初始位置的正下方，如图所示：

再根据几何关系，就知道本题的正确选项应该是C了。那么回看这道竞赛题，是不是发现很类似？珠子和小球的质量相等，系统的质心也在轻杆的中点。由于轨道无摩擦，系统同样不受水平方向的力，质心水平速度不变，保持静止。所以很容易得知当轻杆转到水平位置时，质心应该在初始位置正下方，如图所示：

如果我们考虑此时珠子和小球的速度，设其为v?和v?，首先水平方向上的速度分量有两个约束条件：

1. 杆不可以伸长或压缩，所以2. 水平方向动量守恒，所以

由此可得。而珠子被固定在轨道上只会有水平速度，所以珠子在这个瞬间就是静止的；小球虽然没有水平速度，但它可以有竖直速度，，方向竖直向下。

要想求出这个速率，可以用能量守恒。以水平轨道为重力势能零点，珠子初始的重力势能全部转化为动能：

接下来很多同学就要踏入陷阱了：

「杆左端的珠子静止，杆右端的小球在向下转，这不就是一个小球绕珠子的圆周运动嘛～根据向心加速度公式，小球一定有一个向左的加速度，大小为，所以杆给小球的是个拉力（the rod is in tension），大小为F=Ma=2Mg。」

不好意思，做错了。结结实实掉到了坑里呢～

 错题思路分析这个错误有很多种解释方式，涉及到的知识可深可浅。简单来说，我们在课内认为物体的加速度等于向心加速度和切向加速度的矢量和，这只适用于转轴自身没有加速度的情况（课内的圆周运动问题中圆心都是固定的）。可是如果我们在地面参考系里研究这个运动，以珠子为转轴，虽然它在这个瞬间速度为0，但加速度并不为0，而是有向右的加速度，因为它接下来要向右运动（轻杆继续往下转，来到θ=π的位置，珠子回到原位，小球在珠子正下方）。所以小球实际的加速度还与珠子的加速度有关。

最简单的方法，就是选择质心参考系（一个和质心保持相对静止的参考系）。在地面系中，质心此时的速度可以很容易求出是，所以相对质心，左边的珠子有向上的速度，右边的小球有向下的速度，如图所示：

以质心为圆心，可以求出小球的向心加速度为

所以杆给小球的力为，这就是a问的正确答案。

有同学说：等等，质心不会也有加速度吗？实际上质心会有加速度，但只可能有竖直方向的加速度，而不可能有水平方向的加速度（再次回忆水平方向动量守恒），所以不会影响小球此时的向心加速度（水平方向），也就不会影响对力的计算了。

运动轨迹证明那如果我们就想在地面系中计算呢？那就需要考虑一下小球实际上做的是什么样的运动了。我们可以证明，小球的运动轨迹是一个长轴为R，短轴为的椭圆，如图所示：

证明方法如下：

以珠子的初始位置为原点，建立xy坐标系，珠子的坐标为(x,0)，设轻杆相对y轴顺时针转过的角度为θ，则小球的坐标为

进而质心的坐标为

而质心的横坐标应该始终为0，所以

所以可以把小球的坐标改写为

所以

这就是椭圆轨迹方程了。

如果想求向心加速度，可以对小球的x坐标求二阶导，得

当时θ=π/2，可得。再结合能量守恒即可得到和之前一样的结果了。其实求完椭圆轨迹方程之后还有一个办法，就是如果同学们知道椭圆短轴端点的曲率半径公式（上方图示中的虚线表示了对应的极限圆）

也可以直接用一般曲线运动的向心加速度公式求出一样的结果。

最后，还有一种在非惯性系中研究的方法。珠子是个很好用的参考系，但它有加速度、是个非惯性系怎么办？只需要在其中引入惯性力即可。这个方法留给学过惯性力的同学自行思考～

第二小问接下来的两个小问就简单了。

求小球到达珠子正下方时杆中的力（大小和方向）。首先根据动量守恒和杆长的约束条件可知，小球和珠子的速率相同，设为v，但速度方向一个向左一个向右。还是用能量守恒求出此时小球的速率：

可得。这次我们反而不能用质心系了，因为向心加速度的方向在竖直方向，而质心此时有竖直加速度；所以这次反而应该用珠子作为参考系（一个水平向右速率v的参考系），珠子是没有水平和竖直加速度的，是个惯性系。在这个参考系里，小球的速率是2v，如图所示：

所以。最后根据牛顿第二定律

第三小问

这一小问同样是个简单的能量守恒问题了，系统减少的重力势能等于增加的总动能（质心平动动能和小球珠子绕质心的转动动能两部分），就可以解出角速度，比较简单也不容易犯错，就不再赘述了。

总结

最后我们总结一下，求向心加速度的“陷阱”：在竞赛题中，使用向心加速度公式时，要注意我们所选取的转轴本身有没有加速度，一定要选择在向心方向上没有加速度的转轴。或者就直接采用微积分方法，对位置坐标求二阶导。第二种方法计算麻烦一些，但原理上不容易错。